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Problème de maths Points fixes



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Baccalauréat série S (Scien...
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Post Posté le 02/01/2010 à 20:06:26    Sujet du message : Problème de maths Points fixes
Bonjour !
Je bloque sur un exo de maths.
Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa...

Soit f:[0;1] -> [0;1] une fonction croissante.
On considère la partie E={x appartenant à [0;1] tel que f(x) < ou = à x}

1) Montrer que E admet une borne inférieure. On pose a=inf E . Justifier que a appartienne à [0;1]


E est non vide {faut-il le démontrer et si oui comment ?}
et E est minorée par 0 car pour tout x appartenant à E, x appartient à [0;1]
donc a=inf E existe


2) Montrer que f(a) est un minorant de E et en déduire que f(a)< ou = à a


{tous les < sont ici des inférieur ou égale}

Pour tout x appartenant à E, a < x
or f est croissante donc f(a) < f(x)
or, pour tout x appartenant à E, f(x) < x
d'où pour tout x appartenant à E, f(a) < x
donc f(a) minore E

a= inf E i.e. c'est le plus grand des minorants de E
donc, f(a) minorant E, on a f(a)< ou = a
{je ne sais pas si ça suffit...}


3) On suppose a>0. Justifier que pour tout x appartenant à [0;a[ on ait f(x)>x . En déduire que f(a) > ou = à a .


E={x appartenant à [0;1] tel que f(x)< ou = à x} et f est croissante
De plus, a=inf E i.e. pour tout x appartenant à [0;a[, x n'appartient pas à E i.e. f(x)>x

Après je sais pas trop...


4) Conclure à l'existence d'un point fixe de f. Y-a-t-il unicité d'un tel point fixe ?


On a f(a)> ou = a d'une part et f(a) < ou = a d'autre part
Donc f(a) = a
Ainsi, il existe un point fixe de f.

Il n'y a pas unicité d'un tel point fixe. En effet :
contre-exemple : f:[0;1] -> [0;1] a une infinités de points fixes
x -> x


5) Que pouvez-vous dire de l'existence de points fixes pour une fonction décroissante de [0;1] dans [0;1] ?


Je ne sais pas non plus...

Voilà, si quelqu'un pouvait me guider sur les questions que je n'ai pas réussies !
Merci d'avance.
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