Sujet et corrigé Mathématiques– Bac S

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Voici les sujets et les corrigés de l'épreuve de Mathématiques de 2018 et 2019. Le programme a certes changé mais il existe toute de même quelques similitudes avec la nouvelle épreuve. Ces annales vous seront donc très utiles pour vos révisions.

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Extrait du sujet :
Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard B habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à B tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à 0,4.
On note ' la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les B interrogées.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire ' ?
2. Dans cette question, on suppose que B = 40.
a. Déterminer la probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soient vaccinées.
b. Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
3. On interroge un échantillon de 3750 habitants de la ville, c'est-à-dire que l'on suppose ici que B = 3750. ...]

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Extrait du corrigé:
PartieB
1. X suit une loi binomiale, car il s'agit de répéter n fois de façon identique et indépendante une expérience à deux issues. Les paramètres de cette loi sont n et p = 0, 4.
2. (a) P(X = 15)= 0@40 151A0, 415(1 − 0, 4)40−15 ' 0, 123 La probabilité qu'exactement 15 des 40 personnes interrogées soit vaccinée est environ égale à 0, 123
(b) En utilisant la fonction Binom Frep de la calculatrice, P(X > 20) =1 − P(X < 20) ' 0, 074 La probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées est environ égale à 0, 074
3. On cherche à calculer ici P(1450 6 X 6 1550) Avec l'approximation donné cela revient à donner P(1450 − 1500 30 6 Z 6 1550 − 1500 30 ) Où Z suit une loi normale de paramètre 0 et 1. La calculatrice nous donne P(−5 3 6 Z 6 53) ' 0, 904 La probabilité qu'il y ait entre 1450 et 1550 individus vaccinés est environ égale à 0, 904. [...]

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Extrait du sujet : Exercice 3 (5 points) : commun à tous les candidats Dans une vaste plaine, un réseau de capteurs permet de détecter la foudre et de produire une image des phénomènes orageux. Ces données servent en particulier aux services météorologiques pour améliorer leurs prévisions et pour permettre des interventions plus rapides sur les lieux, notamment en cas d'incendie. Le but de l'exercice est d'étudier les impacts de foudre détectés par un capteur.
L'écran radar, sur lequel les points d'impact de foudre sont observés, a l'allure suivante : Partie A
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.
La chaîne A produit 40% des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20% des composants présentent ce défaut alors qu'en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5%. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note :
A l'événement « le composant provient de la chaîne A »
B l'événement « le composant provient de la chaîne B »
S l'événement « le composant est sans défaut »
1. Montrer que la probabilité de l'événement S est P(S) = 0,89 . Le capteur de foudre étant représenté par le centre de l'écran, cinq cercles concentriques correspondant aux rayons respectifs 20, 40, 60, 80 et 100 kilomètres délimitent dans l'ordre cinq zones, numérotées de 1 à 5, définies par leur distance au capteur. De plus, huit segments partant du capteur délimitent huit portions, de même ouverture angulaire, nommées dans le sens trigonométrique de A à H. L'écran est ainsi partagé en quarante secteurs dénommés par une lettre et un nombre entre 1 et 5. Par exemple, le point P positionné sur la figure est situé dans le secteur B3. On assimile l'écran radar à une partie du plan complexe en définissant un repère orthonormé (O; �, �) de la manière suivante :
• l'origine O marque la position du capteur ;
• l'axe des abscisses est orienté d'Ouest en Est ;
• l'axe des ordonnées est orienté du Sud au Nord ;
• l'unité choisie est le kilomètre.
Dans la suite, un point de l'écran radar est associé à un point d'affixe �.

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Extrait du corrigé Mathématiques Bac S : Partie A
1) Lorsque x → +∞, la fonction présente une forme indéterminée. En effet, lim x→+∞e−x = 0 et lim x→+∞x = +∞, on est donc dans le cas « 0 × ∞ ». Mais l'indétermination est levée par un simple changement d'écriture : pour tout réel x, on a h(x) = x ex, or on on sait que lim x→+∞ ex x = +∞, donc par passage à l'inverse, on a lim x→+∞ x ex = 0 : c'est ce qu'on appelle les « croissances comparées ». 2) On dérive : h′ (x) = 1 × e−x + x × (−e−x) = e−x − x e−x = (1 − x) e−x. On peut ensuite écrire que pour tout réel x on a e−x >0 donc le signe de h′ (x) est celui de (1−x). On a ainsi le tableau de variations de la fonction h... 2 Exercice 2
1) On remplace dans l'équation de P par les coordonnées de A : 2xA −zA −3=2×1−a2−3=−1−a2 or nous savons que quelle que soit la valeur réelle de a, nous aurons toujours a2! 0 (un carré étant toujours positif) donc a2+ 1 > 0 donc −a2 − 1 < 0. Ce n'est donc jamais nul et donc : NB : ce corrigé vous est proposé par Studyrama. Il s'agit d'une proposition de corrigé qui ne saurait tenir lieu de corrigé officiel. Toute reproduction sans accord est strictement interdite.

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Extrait du sujet : 1 Exercice 1 Partie A Attention à une confusion possible entre S et S¯ ! 1) On applique la formule des probabilités totales : p(S¯) = p(S¯ ∩A)+ p(S¯∩B) = pA(S¯)× p(A)+ pB(S¯)× p(B) = 0, 20×0, 40+0, 05×0, 60 = 0, 08+0, 03 = 0, 11. .
NB : ce corrigé est édité par Studyrama. Il s'agit d'une proposition de corrigé qui ne saurait tenir lieu de corrigé officiel. Toute reproduction sans accord est strictement interdite.

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Extrait du sujet 2015

Partie 2 Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts. Les bons d'achat verts prennent la valeur de 30 euros avec une probabilité égale à 0,067 ou des valeurs comprises entre 0 et 15 euros avec des probabilités non précisées ici. De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs 30 ou 100 euros avec des probabilités respectivement égales à 0,015 et 0,010 ou des valeurs comprises entre 10 et 20 euros avec des probabilités non précisées ici (...)

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Extrait :
Exercice 2 / Partie B
La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d'un médicament.
1. Un comprimé est conforme si samasse est comprise entre 890 et 920mg. On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (μ,σ
2) de moyenne μ = 900 et d'écart-type σ= 7.
a. Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−2.
b. Déterminer l'entier positif h tel que P(900−h 6 X 6900+h)≈ 0,99 à 10−3 près. 2. La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au moins 97% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 1000 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages successifs avec remise. Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l'échantillon prélevé. Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le laboratoire ?On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

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Nous avons demandé à un correcteur de plancher en même temps que vous sur le sujet et de vous donner ses éléments de réponse, pour vous permettre de les comparer avec votre copie. Attention toutefois, il s'agit bien d'une proposition de corrigé et pas d'un corrigé officiel...

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