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Extrait du sujet EXERCICE 2 (6 points) Julie a l'intention de planter des bambous dans son jardin. Comme ils sont réputés envahissants, elle souhaite d'abord avoir une estimation de leur taille et de la surface qu'ils occuperont dans les années à venir. Un botaniste indique que l'espèce choisie par Julie a une hauteur qui augmente de 35% par an dans les conditions de son jardin. Il précise que ces bambous ont pour taille maximale 6 mètres.
Pour tout entier naturel n, on note hn la hauteur des bambous, exprimée en mètre, n années après les avoir plantés. Dans les jardineries, ces plantes sont vendues alors que leur hauteur est de 0,6 mètre, que l'on considérera comme la hauteur initiale. 1.a) Donner la valeur de h0, puis calculer h1.
b) Exprimer hnÅ1 en fonction de hn.
c) En déduire la nature de la suite (hn), puis exprimer hn en fonction de n.
d) Afin de ne pas gêner ses voisins, Julie envisage de ne pas laisser sa plantation dépasser 4 mètres de hauteur.
Combien d'années peut-elle laisser pousser ses bambous sans avoir besoin de les tailler ?
e) On donne ci-dessous trois algorithmes. Déterminer, sans justifier, celui des trois pour lequel, à la fin de son exécution, la variable N contient le résultat de la question précédente...

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Extrait du sujet : Exercice 1 (4 points) La plus ancienne méthode de conservation des aliments pratiquée par l'homme est la déshydratation. Ce procédé consiste à utiliser une source de chaleur pour faire évaporer de l'eau d'un aliment. Dans tout l'exercice, on s'intéresse à un abricot frais placé dans un séchoir pour le déshydrater. Avant déshydratation, cet abricot frais a une masse de 45 g dont 85 % d'eau. Le processus de déshydratation s'achève lorsque cet abricot a une masse de 9 g dont 25 % d'eau, il bénéficie alors de l'appellation « abricot sec ».
1. Calculer la masse d'eau contenue dans cet abricot frais.
2. Vérifier que cet abricot ayant l'appellation « abricot sec » ne contient plus que 2,25 g d'eau.
Soit f la fonction qui, à toute durée t exprimée en heures, associe la masse d'eau (en grammes) contenue dans cet abricot placé dans le séchoir depuis t heures. On admet que pour tout réel de l'intervalle 0,13, t f t 0,26 ( ) 38,25e  . En annexe 1, on a tracé la courbe représentative C de la fonction f.
3. a. Calculer la masse d'eau présente dans cet abricot après deux heures passées dans le séchoir. On arrondira à 102 g.
b. Si on laisse cet abricot dans le séchoir pendant 8 heures, pourra-t-il bénéficier de l'appellation « abricot sec » ? Justifier votre réponse.
c. Déterminer le temps de séchage nécessaire pour que l'abricot placé dans le séchoir puisse bénéficier de l'appellation « abricot sec ». On donnera le résultat à la minute près.
4. On considère maintenant la totalité du processus de déshydratation qui permet de passer de l'abricot frais, contenant 38,25 g d'eau, à l'abricot ayant l'appellation « abricot sec », contenant 2,25 g d'eau.
Camille affirme : « dans ce processus, le temps nécessaire pour éliminer les 5 derniers grammes d'eau est environ 15 fois le temps nécessaire à l'élimination des 5 premiers grammes d'eau ! ». Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.
On pourra utiliser la représentation graphique de l'annexe 1 (dans ce cas, on rendra l'annexe 1 avec la copie et on laissera les traits de construction nécessaires apparents).

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Extrait du corrigé : 1) Masse d'eau contenue dans cet abricot frais : 45×85/100=38,25 g 2) Masse d'eau contenue dans cet abricot sec : 9× 25/100 =2,25 g 3.a) f (2)=38,25 e
−0,26×2≈22,74 g
3.b) f (8)=38,25e
−0,26×8≈4,78 g>2,25 g donc cet abricot ne peut pas encore bénéficier de l'appellation « abricot sec ».
3.c) f (x )=2,25⇔38,25 e
−0,26x=2,25 (...) Partie B : 1) X suit une loi binomiale de paramètres n = 7 et p = 0,24. 2.a) P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) ≈ 0,05 + 0,01 + 0 + 0 = 0,06 b) La probabilité pour X = 6 et X = 7 est beaucoup trop faible pour qu'elle apparaisse sur le graphique. (...) Partie C (...) Donc on peut considérer que la proportion de femmes sur qui le régime B n'a pas d'effet est compris entre 0,179 et 0,0,321. Comme il n'existe pas de proportion appartenant à la fois à IA et à la fois IB, donc on peut considérer que la différence d'efficacité est significative, et que le régime A est plus efficace que le régime B.

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Extrait du sujet
Exercice 1 (6 points)
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment. PARTIE A Une société souhaite exploiter un nouveau détecteur qui permet de mesurer la désintégration de noyaux radioactifs. Pour tester ce détecteur, la société l'utilise pour déterminer le nombre de noyaux radioactifs présents dans un échantillon radioactif à des instants donnés. Voici les résultats des relevés réalisés au cours des heures qui ont suivi le début du test. Exercice 2 (6 points)
On s'intéresse à une modélisation de la concentration d'un médicament, injecté dans le sang d'un patient, en fonction du temps. À 7 heures du matin, on injecte le médicament au patient. Toutes les heures, on relève la concentration de médicament dans le sang, exprimée en µg⋅mL-1. À l'injection, cette concentration est égale à 3,4 µg⋅mL-1 . Le nuage de points ci-dessous donne la concentration de ce médicament dans le sang en fonction du temps écoulé depuis l'injection.

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Extrait du corrigé

Partie B :
1) lim┬(t→+∞) f(t)=0, donc la courbe représentative de f admet en +∞ une asymptote horizontale d'équation y = 0. 2) f(t)≤250⇔e^(-0,06t)≤0,5⇔-0,06t≤ln(0,5)⇔t≥(ln(0,5))/(-0,06)≈12 3) Comme f'(t) < 0 , alors f est décroissante sur 0;+∞[. 4.a) f(24) = 500 e-0,06 x 24 = 118,46 Au bout de 24h, il restera 118 milliards de noyaux radioactifs. b) f(t)≤250⇔e^(-0,06t)≤0,5⇔-0,06t≤ln(0,5)⇔t≥(ln(0,5))/(-0,06)≈12 Au bout de 12h, la moitié des noyaux présents au début aura disparue. Exercice 2 :
Partie A : On sait que pour t=0, la concentration est de 3,4, comme h(0) = 3, alors ce n'est pas h.
De plus la fonction d'ajustement doit être décroissante, alors ce n'est pas f.
Donc par élimination, c'est la fonction g.

NB : ce corrigé vous est proposé par Studyrama. Il s'agit d'une proposition de corrigé qui ne saurait tenir lieu de corrigé officiel. Toute reproduction sans accord est strictement interdite.

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Extrait.
Exercice 1 (6 points) Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes. On arrondira les résultats à 10 -3.
Une laiterie produit des fromages, frais ou secs.
1. Pour être accepté, un fromage frais doit avoir une masse supérieure à 240 grammes. On appelle M la variable aléatoire qui à tout fromage frais, prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On suppose que M suit la loi normale d'espérance ...
Quelle est la probabilité qu'un fromage frais prélevé au hasard dans la production soit refusé ? 2. On suppose que 2 % des fromages frais produits ont une masse insuffisante. On prélève un échantillon de 150 fromages frais, pris au hasard dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On appelle X la variable aléatoire qui, à un échantillon de 150 fromages frais, pris au hasard dans la production, associe le nombre de fromages de masse insuffisante dans l'échantillon.
a) Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres.
b) Quelle est la probabilité qu'il y ait dans le prélèvement au maximum cinq fromages de masse insuffisante ?
c) Déterminer l'espérance de X et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

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Extrait.
Exercice 1
M suit la loi N (µ = 250; σ = 5).
1) on demande de calculer p(M ! 240). Par la calculatrice on trouve : p(M ! 240)=0, 023. La probabilité qu'un fromage soit refusé est donc 2,3%. 2) L' énoncé nous conforte dans le résultat précédent : il propose d'arrondir le 2,3% à une valeur plus simple de 2%. a) La situation est assimilée à la répétition de 150 tirages indépendants, X compte le nombre de succès et la probabilité d'un succès est constante 2%, donc : X ∼ B(150 ; 0, 02) X suit la loi binomiale d'espérance 150 et d'écart-type 0,02. b) On demande de calculer p(X ! 5). On trouve par la calculatrice : p(X ! 5) = 0, 918. Il y a donc 91,8% de chances d'avoir au maximum 5 fromages de masse insuffisante. c) E(X) = 150 × 0, 02 = 3 : En moyenne, sur un échantillon de 150 fromages, on peut s'attendre à en trouver 3 de masse insuffisante. NB : ce corrigé est édité par Studyrama. Il s'agit d'une proposition de corrigé qui ne saurait tenir lieu de corrigé officiel. Toute reproduction sans accord est strictement interdite.

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Extrait du sujet 2015

EXERCICE 1 (7 points)

Les trois parties sont indépendantes. Tous les résultats seront arrondis à 10-3, à l'exception de la question 2. de la partie C.

Des dentistes d'une région se sont constitués en association de façon à confronter leurs expériences.

Partie A
Les dentistes de cette association ont constaté que 37 % de leurs patients ont un problème de carie dentaire. On considère un échantillon de 150 personnes prises au hasard parmi les patients de ces dentistes, suffisamment nombreux pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes de cet échantillon ayant un problème de carie dentaire.

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
a) A : « Exactement 50 personnes parmi les 150 ont un problème de carie dentaire. » (...)

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Extrait du corrigé 2015

1 Exercice 1

A) 1) Le choix de cet échantillon est assimilé à un tirage avec remise, donc cela revient à traiter 150 personnes de manière indépendante les unes des autres. Le nombre de personnes est fixé à l'avance (n=150) et la probabilité de « succès » est constante égale à p =0, 37. La variable X désignant le « compteur » des succès suit donc la loi binomiale B(n=150, p=0, 37).

2) a) On doit calculer p(A)= p(X =50)= !150 50 " ×0, 3750×0, 63100≈0, 044 à 10−3 près.
b) On doit calculer p(B)= p(X =60)+...+ p(X =150) ce qui est long...


On trouve p(B)=0, 248. (...)

NB : ce corrigé vous est proposé par Studyrama. Il s'agit d'une proposition de corrigé qui ne saurait tenir lieu de corrigé officiel. Toute reproduction sans accord est strictement interdite.

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Extrait : EXERCICE 2
On injecte dans le sang par piqûre intraveineuse une dose de 2 cm3 d'un antalgique. L'organisme du patient élimine 5 % du produit présent tous les quarts d'heure. On s'intéresse à la quantité d'antalgique, en mm3, présent dans le sang du patient au bout de n quarts d'heure après le début de l'injection. La situation peut être modélisée par une suite (un) de premier terme u0 = 2000 , n u représentant une estimation de la quantité d'antalgique en mm3 présent dans le sang du patient après n quarts d'heure.

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Nous avons demandé à un correcteur de plancher en même temps que vous sur le sujet et de vous donner ses éléments de réponse, pour vous permettre de les comparer avec votre copie. Attention toutefois, il s'agit bien d'une proposition de corrigé et pas d'un corrigé officiel...

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