Sujet et corrigé Mathématiques – Bac STI2D

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Extrait du sujet EXERCICE no 2 (7 points) Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le conservatoire des espaces naturels d'une région s'occupe d'une zone protégée de 1800 hectares. Depuis plusieurs années, il surveille le domaine d'extension d'une plante invasive. Cette plante inhabituelle, d'origine exotique, devient envahissante et cause une régression de la biodiversité. Si le conservatoire constate qu'à la fin d'une année l'aire de la surface occupée par la plante dépasse 80 hectares, cette plante fera alors l'objet d'un plan d'élimination progressive à partir de l'année suivante. Partie A
1. Des relevés de la surface occupée par cette plante ont été effectués sur le terrain, en fin d'année, de 2015 à 2018 : Le conservatoire estime que l'aire de la surface occupée par cette plante a augmenté de 5% environ chaque année. Vérifier que cette estimation est cohérente avec les relevés pris sur le terrain. 2. On considère qu'à partir de l'année 2018 la surface occupée par la plante augmente chaque année de 5%.
Expliquer alors pourquoi la décision de commencer l'élimination de la plante devrait être prise à la fin de l'année 2020 par le conservatoire.
3. Le conservatoire décide de mettre enoeuvre un plan d'élimination progressive. Ce plan prévoit d'éliminer la plante, par arrachage ou par brûlage thermique, sur une surface de 10 hectares à chaque fin d'année, à partir de l'année 2021.
Pour tout entier naturel n, on désigne par Pn l'aire de la surface occupée par la plante, exprimée en hectares, en fin d'année « 2020Ån », en prenant P0 Æ 80,5.

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Extrait du sujet :

EXERCICE n°2 (6 points)

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d'eau et des poissons. Par évaporation, le volume d'eau dans l'aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d'eau.

Partie A

1. Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d'une semaine ?
2. Est-il vrai qu'au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d'eau initial se seront évaporés ? Justifier.
3. Déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant.

Partie B

On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d'eau pour compenser l'évaporation hebdomadaire de 2%.

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Exercice 1: ( 1 . b) 2. c) (peut se voir graphiquement en estimant l'aire) 3. a) f (x) = 2 e-2x+3− étant solution)) et 4.d) (x lnx – x étant une primitive de ln x) Partie A 1. Le volume d'eau qu'il restera dans l'aquarium au bout d'une semaine est: 280 *0,98 = 274,4 L. 2. Le volume d'eau qu'il restera dans l'aquarium au bout de deux semaines est : 280 *0,98(2) = 268,912 L. Une perte de 4% aurait donné un volume d'eau de 280 *0,96 = 268,8L. 3. On résout ici 280 *0,98 n < 240 soit 0,98 n < 240 /280 = 6/7 i.e. n > ln(6/7) / ln(0,98) = 7,63… soit à partir de n = 8 : c'est donc au bout de 8 semaines que le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant. Partie B 1. U1 = 280 *0,98 + 5 = 279,4 et U2 = 279,4 *0,98 + 5 = 278,812 2. Diminuer de 2% revient à multiplier par 0,98 et on ajoute ensuite les 5L d'eau pour compenser l'évaporation, d'où la relation de récurrence Un + 1 = 0,98 Un + 5. 3. La suite (un) n'est pas géométrique car les rapports U2 / U1 et U1 /U0 sont différents. 4. a) Complétons l'algorithme :
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